已知数列{an}满足a1=1,an=[3^(n-1)]+a(n-1)(n≥2），证明：an=[(3^n-1)]/2

已知数列{an}满足a_1=1,a_n=[3^(n-1)]+a_(n-1)(n≥2），
证明：a_n= (3^n-1)/2

证明：
采用数学归纳法
当 n = 1,
已知 a_1 = 1
求证的 a_1 = (3^1 - 1)/2 = 1 满足求证
当 n = 2,
根据已知 a_2 = 3^(2-1) + a_(2-1) = 3 + a_1 = 3 + 1 = 4
验证求证 a_2 = (3^2 - 1)/2 = 4 满足求证

那么假设n = k 的时候求证成立
a_k = (3^k - 1)/2
那么 当 n = k + 1的时候
a_(k + 1) = 3^(k+1-1) + a_(k+1-1) = 3^k + a_k = 3^k + (3^k - 1)/2
= 2 * 3^k / 2 + (3^k - 1)/2 = (3 * 3^k - 1 ) /2 = [ 3^(k+1) - 1 ]/ 2
满足求证
所以命题得证！

An=3^(n-1)+A(n-1)=3^(n-1)+3^(n-2)+A(n-2)=3^(n-1)+3^(n-2)+A(n-2)
=3^(n-1)+3^(n-2)+……+1=(3^n-1)/2